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FATOS MATEMÁTICOS
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[;mathbb{Z};]
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[;lfloor x floor = n;]
[;lfloor x floor = max{n in mathbb{Z} | n leq x};]
[;lceil x ceil;]
[;lceil x ceil = n;]
[;lfloor x floor leq x;]
[;x in mathbb{R};]
[;{x};]
[;{x} = x - lfloor x floor;]
[;i);]
[;x = lfloor x floor Leftrightarrow x in mathbb{Z};]
[;ii);]
[;x = {x} Leftrightarrow 0 leq x prec 1;]
[;iii);]
[;x - 1 prec lfloor x floor leq x;]
[;iv);]
[;n in mathbb{Z};]
[;{x + n} = {x};]
[;x = lfloor x floor;]
[;{x} = 0 quad Rightarrow quad x in mathbb{Z};]
[;x = n in mathbb{Z};]
[;lfloor x floor = n = x;]
[;x ={x};]
[;lfloor x floor = 0 quad Rightarrow quad 0 leq x prec 1;]
[;0 leq x prec 1;]
[;lfloor x floor = 0 quad Rightarrow quad x = {x};]
[;x = lfloor x floor + {x} prec lfloor x floor + 1;]
[;{x + n} = x + n - lfloor x + n floor = x + n - (lfloor x floor + n) = x - lfloor x floor = {x};]
[;y;]
[;lfloor x + y floor geq lfloor x floor + lfloor y floor;]
[;{x + y} leq {x} + {y};]
[;x + y - 1 prec lfloor x + y floor leq x + y qquad (1);]
[;x-1 prec lfloor x floor leq x quad Rightarrow quad -x leq -lfloor x floor prec - x + 1 qquad (2);]
[;y - 1 prec lfloor y floor leq y quad Rightarrow quad -y leq -lfloor y floor prec - y + 1 qquad (3);]
[;(1);]
[;(2);]
[;(3);]
[;-1 prec lfloor x + y floor - lfloor x floor - lfloor y floor leq 2;]
[;lfloor x + y floor - lfloor x floor - lfloor y floor in mathbb{Z};]
[;lfloor x + y floor - lfloor x floor - lfloor y floor;]
[;lfloor x + y floor - lfloor x floor - lfloor y floor geq 0;]
[;{x+ y} = (x + y) - lfloor x + y floor leq x + y - lfloor x floor - lfloor y floor;]
[;= (x - lfloor x floor) + (y - lfloor y floor) = {x} + {y};]
[;lfloor x floor = x - frac{1}{2} + frac{1}{pi}sum_{k=1}^{infty}frac{sin(2pi k x)}{k};]
[;{x} = frac{1}{2} - frac{1}{pi}sum_{k=1}^{infty}frac{sin(2pi k x)}{k};]
[;gamma simeq 0,57721566;]
[;gamma = sum_{k=2}^{infty}frac{lfloor log_{2} k floor}{k};]
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